BU KİTABIMIZDA TAM SAYILAR KONUSUNU ANLATACAĞIZ.

Merhaba arkadaşlar. Ben Tuana. Bugün sizlerle ''Tam Sayılar '' konusunu öğreneceğiz.

Tam sayılar, doğal sayılar (0,1,2,3,...) ile

 bu sayıların negatif değerlerinden oluşan

 (...,-3,-2,-1) oluşan sayı kümesidir. Kesirsiz ve ondalıksız sayıların tamamı tam sayılardır. 

TAM SAYILAR

Matematikte tam sayılar kümesi ''Z'' şeklinde gösterilir. Z harfi Almanca zahlen (sayılar) kelimesinden gelir. Pozitif tam sayılar Z+ şeklinde, negatif tam sayılar ise Z- şeklinde gösterilir. Sıfır (0) sayısı ne pozitiftir ne de negatiftir, yani nötrdür.

Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür. En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.

Sayı doğrusunda toplama işlemi yapılırken toplanan sayılardan birincisinin büyüklüğü kadar sıfırdan başlayarak ok çizilir. Toplanan diğer sayının okunun başlangıç noktası, ilk okun bittiği noktadır. Sayı pozitif ise sağa doğru, sayı negatif ise sola doğru hareket edilir. Sonuç sıfırdan başlanarak sayı doğrusunun altına çizilir.

TAM SAYILARLA İŞLEMLER

Sayı Doğrusunda Tam Sayılarla Toplama İşlemi

Tam sayılarla çıkarma işlemi toplama işleminden faydalanarak yapılır.

Bildiğiniz gibi:  A-B=C işleminde A sayısına eksilen, B sayısına çıkan, C sayısına fark denir. Çıkarma işlemi yapılırken çıkan sayının işareti değiştirilir ve çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür. Daha sonra toplama işlemi yapılır. 

TAM SAYILARLA İŞLEMLER

Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi

Toplama işleminde kullandığımız 4 tane özellik vardır. Bunlar; Değişme özelliği, birleşme özelliği, etkisiz eleman özelliği ve ters eleman özelliğidir.

TOPLAMA İŞLEMİNDE KULLANILAN ÖZELLİKLER

Tam sayılarda toplama işlemi yaparken iki sayının yeri değişirse de işlem sonucu değişmez. Aşağıdaki toplama işlemlerinde toplanan tam sayıların yerlerini değiştirdiğimizde işlemin sonucunun yine aynı olduğuna dikkat ediniz.

TOPLAMA İŞLEMİNDE KULLANILAN ÖZELLİKLER

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

   3+4=7 

4+3=7

  (-5)+(-10)=(-15) 

 (-10)+(-5)=(-15)

Tam sayılarla toplama işlemi yaparken tam sayıları istediğimiz şekilde farklı ikişerli gruplara ayırıp toplayabiliriz, işlemin sonucu değişmez, her defasında aynı sonuç bulunur.

TOPLAMA İŞLEMİNDE KULLANILAN ÖZELLİKLER

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

TOPLAMA İŞLEMİNDE KULLANILAN ÖZELLİKLER

ETKİSİZ ELEMAN ÖZELLİĞİ

Sıfır tam sayısı toplama işleminde sonuca etki etmeyen, elemandır. Aşağıda sıfır ile yapılan toplama işlemlerinde sıfırın sonuca etkisinin olmadığını göreceksiniz.

9+0=9

(-1)+0=(-1)

0+4=4

TOPLAMA İŞLEMİNDE KULLANILAN ÖZELLİKLER

TERS ELEMAN ÖZELLİĞİ

Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, zıt işaretlisidir. Bir tam sayı ile bu tam sayının toplama işlemine göre tersinin toplamı her zaman sıfır olur.

5+(-5)=0

(-12)+(+12)=0

(-3)+(+3)=0

ÖRNEK SORULAR

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ 

Tam sayılarla çarpma işlemi toplama işleminin en kısa yoludur. Aynı tam sayının tekrarlı toplamının kısa yoldan yapılmasına ''çarpma işlemi'' denir. ''x'' veya ''.'' sembolü ile gösterilir. İki tam sayını çarpımında 1. çarpan kaç grup olduğunu 2. çarpan ise her grupta kaç sayı olduğunu gösterir.

.

=

1. ÇARPAN

2. ÇARPAN

ÇARPIM

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİ

Tam sayılarla çarpma işlemini sayma pulları kullanmadan daha pratik olarak yapmak istediğimizde izlenecek yol şu şekildedir;

*İlk olarak tam sayıların işaretlerine bakmaksızın tam sayılar çarpılır.

*Ardından da tam sayıların işaretleri çarpılır.

* Tam sayıların işaretleri çarpılırken de şu yol izlenir; aynı işaretlerin çarpımı her zaman pozitif, zıt işaretlerin çarpımı her zaman negatif sonuç vermektedir. Yani:

*(-).(-)=(+)                              

*(+).(+)=(+)    (+)=DOST        

*(-).(+)=(-)       (-)=DÜŞMAN  

*(+).(-)=(-)                                

TAM SAYILARLA 

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için tam sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

5.3=3.5

(-7).(+8)=(+8).(-7)

TAM SAYILARLA 

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Üç veya daha fazla tam sayı ile çarpma işlemi yaparken çarpılan sayılardan herhangi iki tanesini parantezleyerek önce işleme almak sonucu değiştirmediği için tam sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

TAM SAYILARLA ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

Çarpma işlemini toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağıtabiliriz.  (-5).(100+2) işleminde parantez dışındaki çarpan olan -5'i içerideki sayılarla sırayla çarparız. Daha sonra içerideki işlem toplama olduğu için çıkan sonuçları toplarız.

(-5).(100+2)            

=(-5).(100)+(-5).2           

=-500+(-10)

=-510

2.YOL: (-5).(102)= -510

Burada çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini gördük. Eğer içerideki işlem çıkarma işlemi olsaydı çıkarma üzerine dağılma olacaktı. Dağılma özelliği zihinden işlem yapmamızı çok kolaylaştırır. Örnek verecek olursak;

7.98 işlemini ele alalım. 98'in 100'den iki eksik olduğunu biliyoruz. 7.(100-2)'yi şimdi çıkarma üzerine dağıtalım.

7.100-7.2

=700-14

=686 cevabını buluruz.

TAM SAYILARLA 

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen sayıya etkisiz eleman denir. Çarpma işleminde bir sayıyı 1 ile çarptığımızda sonuç çarpılan sayı olur. Bu yüzden çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir.

ETKİSİZ ELEMAN ÖZELLİĞİ

(-23).1=(-23)

458.1=458

TAM SAYILARLA 

ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

YUTAN ELEMAN ÖZELLİĞİ

Hangi sayıyla işleme girerse sonuç kendisi olan sayıya yutan eleman denir. Çarpma işleminde her sayının 0 ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu yüzden çarpma işleminin yutan elemanı 0'dır.

(-45).0=0

(+7).0=0

TAM SAYILARLA BÖLME İŞLEMİ

KURAL: Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri birbirine bölünür. Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.

* (-):(+)=(+)

* (+):(+)=(+)

* (-):(+)=(-)

* (+):(-)=(-)

ÖRNEK SORULAR

TAM SAYILARLA PROBLEM ÇÖZME

ÖRNEK: Deniz seviyesinden yükseklere çıkıldıkça atmosferin kalınlığı ve yoğunluğu azalır. Ayrıca yükseklere doğru çıkıldıkça her 200 m'de sıcaklık 1 derece azalır. Bir dağcı deniz seviyesinde ve 23 derece sıcaklıktaki yerden 1000 m yükseklikteki dağın zirvesine çıkmak istiyor. Dağın zirvesindeki sıcaklık kaç derece olur?

TAM SAYILARLA PROBLEM ÇÖZME

ÇÖZÜM: Sıcaklık her 200 m'de 1 derece azaldığından 1000 m'de 1000:200= 5 derece azalır. Öyleyse dağın zirvesinde sıcaklık 23-5=18 derece olur.

ÖRNEK SORULAR